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数系的扩充与复数的概念 教学设计

[日期:2015/5/15 14:34:00] 阅读:4221

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  高二年级数学 第五周集体备课

 

引入:

大家都知道,数,是数学中的基本概念,也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天,老师遇到了这样一个与数有关的问题,大家看看该怎样解决呢?

   问题1:已知 ,求:(1) ;(2) 。

对于第二个问,学生可能出现下面几种方案得出结论,

方案一:

方案二:

方案三:通过 可是

方案四:

你是怎么处理的,结论是什么?

第二个问为什么没解出来?为什么存在着使 的数,但是却求不出来,你是怎么想的呢?

正如同学们所分析的,数的概念需要进一步发展,实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

应该如何进行数的扩充呢?到目前为止,大家已经知道,数系经历了三次扩充,就让我们通过回忆,从中寻找数系扩充的方法。

请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

    问题2:数在不断的发展,到目前为止,经历了三次扩充,

1)回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

2)说明数集N,Z,Q,R的关系

2)分析每一次引入新数,扩大数系的原因。

同学们说的非常好,数的这种发展一方面是生产生活的需要,另一方面也是数学本身发展的需要。

数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的,如果没有运算,数不过是一些孤立的符号,毫无意义,接下来让我们从运算的角度,进一步讨论数的扩充。

    问题3:  对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说,在以下四个数集中,

(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

(2)试着分析,引入负数,分数,无理数对于运算的影响。

    运算

数集

加法

减法

乘法

除法

乘方

开方

正整数集

整数集

有理数集

实数集

通过这个表格,我们看到,新的数集中,原有的运算律仍然适用,同时引入新数后,使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

通过不断的引入新数,数系逐步扩大到了实数系。

问题4:现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题? 怎么解决?你能具体说一说吗?

同学们分析的很好,到目前为止,负数开偶次方的问题还没有解决,我们不妨先来研究负数开平方的问题,从运算的角度来说,也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的,我们可以仿照前面的做法,引入一种新数,法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数,即 “虚的数”与“实数”相对应.这是因为最开始研究这种新数是在16世纪,而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

如果引入虚数,负数可以开方了,那么 就有意义了。我们希望,引入虚数后,原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如,在引入虚数后,我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式,因此,意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

负数、分数和无理数引入时,都相应的带来了一种新的记号,那么对于虚数,用一种什么样的记号来表示呢?

现在我们规定:(1) ;(2) 。

使用 来表示 这个数,是伟大的数学家欧拉在1777年,双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力,仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果,从而让虚数有了一个特征性的记号。从此,也就不在使用 表示虚数单位了,而是 了。那么 ,这种表示方法既简洁又有特点。

问题5:不仅仅 是虚数吧,你还能说出其他形式的虚数吗?那么通过运算,虚数可以用 表示成什么形式呢?(讨论)

一.复数的定义

虚数与实数构成了一个新的数集,我们把这个新的数集叫做复数集,记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

该怎样用描述法表示集合 呢?

形如 的数,我们把它们叫做复数,其中 叫做复数的实部, 叫做复数的虚部。

一个复数是由两部分组成的,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等,反之亦然,即

问题6:实数与虚数组成了复数,那么 这种形式,什么时候表示实数,什么时候表示虚数呢?

二.例题

例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数,并指出它们各自的实部和虚部。

例题2.当 取何实数时,复数 是:

1)实数     (2) 虚数       (3)纯虚数       (4)零

结论:

   三.虚数引入的必要性

通过前面的研究,大家对虚数已经有了初步的认识,然而历史上引入虚数,可不是件容易的事,是许多数学家200多年的努力,才奠定了虚数在数学领域的地位??己芏嗳硕疾怀腥闲槭?,就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义,他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题,显得像是可以解的样子。

他在《大術》第三十七章中,提出並解決這樣的問題:「 把10分為兩部分,其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此,將分成的兩部分應是 5+事实并非如此,我们最开始研究的问题1,就是16世纪,意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题:“将10分成两部分,使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。

数十年后另一个意大利数学家邦贝力(R. Bombelli,1526-1573)发现,方程 有三个实数根4, 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时,却发现实数4竟然是用 来表示的。

这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的,而是客观存在的。

四.复数的实际应用

在十六世纪,很多数学家不认可虚数,只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻,负数和无理数才刚刚接受,让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

不过经过许多数学家的深入研究与探索,现在复数理论越来越完善,它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题,如代数、分析、几何与数论等问题中,皆可看到复数的踪迹。

一些碎形就是基于复数理论基础上的。

这个图就是碎形——曼德勃罗集合,这是他的局部放大图。

复数更多的应用是作为一种数学工具,服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,为建立巨大水电站(如三峡水电站)提供了重要的理论依据。

复数还广泛的应用于物理学的各个分支, 比如在交流电,工程力学中的计算,计算量子力学中的震荡波产生的影响,等等。

五.师生小结

那么,通过这堂课的学习你有哪些收获?

今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门,对复数的认识还是肤浅的,在今后的学习中,大家再慢慢体会复数的作用。

板书:

§3.1.1数系的扩充与复数的概念

一.  虚数

1.  虚数单位

2.  虚数的表示形式

二.  复数

1.  概念:形如 的数, 叫做复数的实部, 叫做复数的虚部。

2.  性质:

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